🦍 4 Pierwiastki Z 2 Do Potęgi 2

- jaka liczba podniesiona do potęgi 2 daje 4? - odpowiedź brzmi 2. - pierwiastek stopnia trzeciego z 8 to 2, ponieważ 2 podniesione do trzeciej potęgi daje 8. ponieważ . Niewymierność pierwiastków - pierwiastek z 3, z 2, z 5. Pierwiastkami z liczb pierwszych są liczby niewymierne = 1.73205080757 Pierwiastek z 3 jest nazywany również Pociąg poruszał się ze stałą prędkością 25 m s przez 4 minuty. Jaką odległość pokonał w tym czasie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. 10 … 0 m B. 600 m C. 6 km D. 10 km MUSI BYĆ Z NIEWIADOMĄ Kartkówka 7.II.2. Potęgi o tych samych podstawach (wersja 2020) Test - ekowydruk. Katarzyna Budna. 382dfe2d5cf8dac8f4fbc0c280853286 Kliknij tutaj, 👆 aby dostać odpowiedź na pytanie ️ Ile to (2 pierwiastek z 3) do potęgi 3? pawelbekerp5bbav pawelbekerp5bbav 03.01.2019 Oblicz wartość wyrażenia: Nie wiesz, jak rozwiązać to zadanie? Obejrzyj film/przeczytaj artykuł na ten temat lub użyj wskazówki. Ucz się za darmo matematyki, sztuki, programowania, ekonomii, fizyki, chemii, biologii, medycyny, finansów, historii i wielu innych. Graniastosłupy - własności klasa 8. autor: Mateduakcja. Klasa 8 Matematyka. Trójkąty prostokątne o kątach 45,45,90 i 30,60,90 Odkryj karty. autor: Lysiakk. Klasa 8 Matematyka. Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne Połącz w pary. autor: Justynaklimczyk. JfrQm. aerialsky Użytkownik Posty: 2 Rejestracja: 21 wrz 2009, o 18:42 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Koźle Potęgowanie pierwiastków ... Witajcie, Na jakiej zasadzie potęguje się te pierwiastki? 2\(\displaystyle{ \sqrt{4}}\) \(\displaystyle{ ^{3}}\) (2 pierwiastków z czterech do potęgi trzeciej) \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\) \(\displaystyle{ ^{3}}\) (8 pierwiastków do potęgi trzeciej) tim Użytkownik Posty: 533 Rejestracja: 9 maja 2009, o 18:12 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gdynia Podziękował: 3 razy Pomógł: 77 razy Potęgowanie pierwiastków ... Post autor: tim » 21 wrz 2009, o 19:02 \(\displaystyle{ \sqrt{8} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{8}= 8 \sqrt{8}}\) aerialsky Użytkownik Posty: 2 Rejestracja: 21 wrz 2009, o 18:42 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Koźle Potęgowanie pierwiastków ... Post autor: aerialsky » 21 wrz 2009, o 20:42 a w tym pierwszym poprawnie powinno wyjść \(\displaystyle{ 8\sqrt{8} ?}\) Ostatnio zmieniony 21 wrz 2009, o 20:48 przez Rogal, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Czegoś brakowało... tim Użytkownik Posty: 533 Rejestracja: 9 maja 2009, o 18:12 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gdynia Podziękował: 3 razy Pomógł: 77 razy Potęgowanie pierwiastków ... Post autor: tim » 21 wrz 2009, o 21:30 \(\displaystyle{ A propos: \sqrt{4}=2}\) jak obliczyć te przykłady? hobbit: √5 + 3√5 − 4√5 6√3 − 2 razy pierwiastek 3 stopnia z 3 + 4 razy pierwiastek 3 stopnia z 3 (√5) do potęgi 14 (pierwiastek 3 stopnia z 2 ) do potęgi 9 (2√7) do potęgi 5 4 razy pierwiastek 3 stopnia z 3 − 3 razy pierwiastek 3 stopnia z −3 6√5 − 4√5 + 2 razy pierwiastek 3 stopnia z 5 ? 11 gru 18:38 pomagacz: 1. √5 + 3√5 − 4√5 = {t = √5} = t + 3t − 4t = ... 2. 6√3 − 23√3 + 43√3 = {t = 3√3} = 6√3 − 2t + 4t = ... 3. (√5)14 = ((√5)2)7 = ... 4. (3√2)9 = ((3√2)3)3 = ... 5. (2√7)5 = 25 (√7)5 = 25 * (√7)4 * √7 6. 43√3 − 33√−3 = 7. 6√5 − 4√5 + 23√5 = {ad. 2} 11 gru 18:53 hobbit: 4√5 − 4√5 = 11 gru 18:58 pomagacz: 4√5 − 4√5 = {x = √5} = 4x − 4x = ... 11 gru 19:00 hobbit: więc w tym pierwszym przykładzie jaki będzie wynik 11 gru 19:01 pomagacz: jeśli odejmiesz od siebie tą samą liczbę to jaki wynik będzie? dla przykładu: 2 − 2 = ... 11 gru 19:05 hobbit: no tak.. a ten przykład 4 to jak dalej rozpisać? 11 gru 19:06 pomagacz: (n√x)n = x 11 gru 19:18 hobbit: czyli wyjdzie pierwiastek z 2 do potęgi trzeciej? 11 gru 19:20 pomagacz: nie hobbit pierwiastek to liczba podniesiona do ułamka 3√2 = 213 czyli: (3√2)3 = (21/3)3 = 21/3 * 3 = 2 11 gru 19:23 hobbit: ahaaa dzięki. 11 gru 19:28 zxzxzx: (7−4√5)2 1 kwi 13:12 bezendu: 49−56√5+80=129−56√5 1 kwi 13:14 Tyska: x≤5 19 cze 19:12 Ola: √118 8 paź 18:03 Niunia: ;: √118 8 paź 18:04 Niunia: ;: działania na pierwiastkach pomocyy pliss. ! √118 8 paź 18:06 leo: (3√5 + 4 ) ( 3√5 − 4 ) 6 sty 17:17 Spis treści1 Historia2 Definicja3 Przykłady i własności4 Pierwiastek zespolony5 Typografia6 Zobacz też7 PrzypisyPierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania . Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem ; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).Pierwiastki są szczególnie istotne w teorii szeregów , gdzie kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe) służy wyznaczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowego . Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych ; warto nadmienić, iż pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do znanego twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników , tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków. HistoriaPoczątki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła[] podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów , a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową , odpowiednik angielskiego „th” w wyrazie the) oznaczającego „korzeń”.Wielu, w tym Leonhard Euler [1] wierzy, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix, które oznacza to samo działanie matematyczne . Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa surd pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie „assam” (głuchy, głupi) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych[2]. DefinicjaNiech dana będzie dodatnia liczba całkowita n nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby x stopnia n nazywa się taką liczbę r, która podniesiona do n-tej potęgi jest równa x; innymi słowy jest to dowolna liczba r spełniająca równośćrn = w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest 0. W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb nieparzystych n każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym , zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym ; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby x odpowiadają kolejno symbole itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, nie mniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne. Przykłady i własnościLiczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż 24 = 16. Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest − 2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby, które wraz z 2 oraz − 2 są pierwiastkami algebraicznymi 4-tego stopnia z pierwiastka z liczby ujemnej może być liczba − 2, która ma rzeczywisty pierwiastek piątego stopnia, lecz nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków szóstego liczb ma niewymierne pierwiastki, przykładowoMimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych , są x,y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś n,m są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku będącym ułamkiem , prawdziwe są również następujące równości:Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu :o ile | x | < 1. Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumiennego. Pierwiastek zespolonyDla dodatniej liczby całkowitej n pierwiastkiem (algebraicznym) stopnia n z liczby zespolonej x nazywa się dowolną liczbę r spełniającą równośćrn = niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista) x ma n różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z z liczby zespolonej z można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:,dla (powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).Przykładowo dla liczby z = − 4 jest | z | = 4, a ponadto , a więc w postaci biegunowej ma ona postać z = 4(cosπ + isinπ).Pierwiastkami drugiego stopnia z z są: TypografiaNiżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka:ZnakNazwa polska[3] Unikod Nazwa unikodowa ASCII URL HTML (inne)√pierwiastek kwadratowyU+221ASQUARE ROOT√%E2%88%9A√∛pierwiastek sześciennyU+221BCUBE ROOT∛%E2%88%9B∜pierwiastek czwartego stopniaU+221CFOURTH ROOT∜%E2%88%9C‾kreska wiążąca górnaU+203EOVERLINE‾kreska wiążąca górna dostawnaU+0305COMBINING OVERLINEW LaTeX-u : Zobacz też algorytm obliczania pierwiastka n-tego stopnia pierwiastek dwunastego stopnia z dwóchsuperpierwiastekPrzypisy↑ Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis. 1755. ( łac. )↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics . [dostęp 2008-11-30].↑ Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007. 4 pierwiastki z 2 do potęgi 3 zielony : Heja Pomoże ktoś z tym? (4√2)3 Wiem, że jest to łatwe ale dawno już nie robiłem nic do potęgi 3 i...po prostu nie wiem jak to ugryźć. 28 lis 15:36 razor: =43(√2)3 = 642√2 = 128√2 28 lis 15:37 J: = 43(√2)3 = 642√2 = 128√2 28 lis 15:40 zielony : Pięknie Ci dziękuje Nawet nie wiesz jak mi to wszystko rozjaśniło. Bo jak jest do kwadratu to pierwiastek się skraca,racja? 28 lis 15:41 razor: zależy jaki pierwiastek 28 lis 15:42 J: ... nic się nie skraca ...(√2)3 = (√2)2√2 = 2√2 .. 28 lis 15:42 zielony : Chodzi mi o taki przykład: (8√2)2 28 lis 15:43 J: = 82(√2)2 = 642 = 128 28 lis 15:44 razor: trzeba się nauczyć działań na potęgach (√2)2 = (21/2)2 = 221/2 = 21 = 2 (√2)3 = 231/2 = 23/2 = 2121/2 = 2√2 28 lis 15:45 zielony : Dziękuje raz jeszcze 28 lis 15:47 W poprzednich częściach zajmowaliśmy się potęgowaniem i pierwiastkowaniem liczb. Teraz, dzięki umiejętności zapisywania pierwiastka za pomocą potęgi, połączymy oba te działania. W jaki sposób? Na początku spójrz na przykład. Weźmy liczbę $(\sqrt{16})^{2}$. Chcemy ją jakoś policzyć. Jak? Są na to 2 sposoby: Sposób I. Korzystając z własności pierwiastków: $$(\sqrt{16})^{2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{16} = \sqrt{16\cdot16} = \sqrt{256}= 16$$ Ten mechanizm był wytłumaczony tutaj i tutaj. Sposób II. Zamieniamy liczbę $\sqrt{16}$ na potęgę o wykładniku wymiernym, tzn.: $$(\sqrt{16})^{2} = \left(16^{\frac{1}{2}}\right)^2=16^{\frac{1}{2}\cdot 2} = 16$$ Konstrukcja $(\sqrt{a})^{2}$ często pojawia się w różnych zadaniach, zapamiętaj więc, że $(\sqrt{a})^{2}=a$. Zachodzi to również dla wyższych pierwiastków i potęg, np. $(\sqrt[3]{a})^{3}=a$, $~(\sqrt[4]{a})^{4}=a$, należy pamiętać jednak o tym, żeby stopień pierwiastka był równy wykładnikowi potęgi. Przykłady. $$(4\sqrt{2})^{2}\stackrel{\text{I}}{=} (\sqrt{16\cdot2})^{2} = (\sqrt{32})^{2} = 32$$ $$(4\sqrt{2})^{2}= 4^{2}\cdot(\sqrt{2})^{2} \stackrel{\text{II}}{=} 16\cdot2 = 32$$ $$(\sqrt{7})^{3}\stackrel{\text{I}}{=} \sqrt{7\cdot7\cdot7} = \sqrt{7^{2}}\cdot\sqrt{7} = 7\sqrt{7}$$ Zadania Zadanie 1. Liczba $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$ jest równa $$A. \sqrt[6]{3},B. \sqrt[4]{3},C. \sqrt[3]{3}, D. \sqrt{3}$$ Korzystając ze wzorów na działaniach na potęgach i pierwiastkach mamy: $$\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3\cdot3^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{3^{1+\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{3^\frac{3}{2}}=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$ Odpowiedź: D. Zadanie 2. Liczba $3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{9^{2}}$ jest równa $$A. 3^{3},B. 3^{\frac{32}{9}},C. 3^{4}, D. 3^{5}$$ $$3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{9^{2}}=3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{(3^{2})^{2}}=3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{3^{4}}=3^{\frac{8}{3}}\cdot3^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{8+4}{3}}=3^{\frac{12}{3}}=3^{4}$$ Odpowiedź: C. Zadanie 3. Liczba $7^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{7^{5}}$ jest równa $$A. 7^{\frac{4}{5}},B. 7^{3},C. 7^{\frac{20}{9}}, D. 7^{2}$$ $$7^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{7^{5}}=7^{\frac{4}{3}}\cdot7^{\frac{5}{3}}=7^{\frac{4+5}{3}}=7^{\frac{9}{3}}=7^{3}$$ Odpowiedź: B. Zadanie 4. Oblicz: $(\sqrt{2})^{2},(\sqrt{17})^{4},(\sqrt{15})^{2},(\sqrt[3]{4})^{3},(\sqrt{18})^{4},(\sqrt{9})^{5},(\sqrt[5]{32})^{3},(\sqrt[4]{16})^{5},~~(\sqrt{16})^{5}$ 1. $$(\sqrt{2})^{2} = 2$$2. $$(\sqrt{17})^{4} = ({17}^\frac{1}{2})^{4}=17^{\frac{1}{2}\cdot4}= 17^{2} = 289$$ 3. $$(\sqrt{15})^{2} = 15$$ 4. $$(\sqrt[3]{4})^{3} = 4$$ 5. $$(\sqrt{18})^{4}=({18}^\frac{1}{2})^{4}= 18^{\frac{4}{2}} = 18^{2} = 324$$ 6. $$(\sqrt{9})^{5} = \sqrt{9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9}=\sqrt{9\cdot9}\cdot\sqrt{9\cdot9}\cdot\sqrt{9} = 9\cdot9\cdot\sqrt{9} = 81\sqrt{9}$$ 7. $$(\sqrt[5]{32})^{3} = (\sqrt[5]{2^{5}})^{3} = 2^{3} = 8$$ 8. $$(\sqrt[4]{16})^{5} = (\sqrt[4]{2^{4}})^{5} = 2^{5} = 32$$ 9. $$(\sqrt{16})^{5} = 4^{5} = 1024$$

4 pierwiastki z 2 do potęgi 2